Qu'est-ce qu'une intégrale ?
L'intégrale définie d'une fonction f entre les bornes a et b, notée ∫[a,b] f(x)dx, représente l'aire algébrique entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales x=a et x=b. Si f est positive, l'intégrale est l'aire sous la courbe. Si f est négative, l'aire est comptée négativement. L'intégration est l'opération inverse de la dérivation : si F est une primitive de f, alors ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) (théorème fondamental de l'analyse).
Méthode de calcul numérique
Notre calculatrice utilise la méthode de Simpson, une technique d'intégration numérique qui approche la fonction par des paraboles sur des sous-intervalles. Cette méthode est très précise (erreur en O(h^4)) et donne d'excellents résultats pour les fonctions lisses. L'intervalle [a,b] est divisé en un grand nombre de sous-intervalles pour garantir la précision du résultat. Le résultat est affiché avec plusieurs décimales.
Applications de l'intégration
L'intégration est utilisée dans quasiment toutes les branches des sciences. En physique : calcul de travail, d'énergie, de centre de masse, de moment d'inertie. En probabilités : calcul de probabilités à partir de densités de probabilité. En économie : surplus du consommateur, coût total à partir du coût marginal. En ingénierie : calcul de volumes, de surfaces, de débits. Savoir calculer une intégrale est une compétence fondamentale en mathématiques appliquées.